Dans la vie courante, nous utilisons principalement le système décimal. Il utilise dix chiffres, de 0 à 9, pour représenter les nombres. Les ordinateurs, les circuits numériques et de nombreux appareils électroniques utilisent cependant un autre système : le système binaire.

Le système binaire n'utilise que deux chiffres : 0 et 1. Ces deux valeurs correspondent particulièrement bien au fonctionnement de l'électronique numérique, dans laquelle un signal peut être interprété comme ayant deux états distincts.

Deux valeurs suffisent

Un circuit électronique peut facilement distinguer deux états électriques. Par exemple, une tension faible peut représenter 0 et une tension élevée peut représenter 1.

Ces deux états permettent de représenter une information de manière fiable, même lorsque le signal subit de petites perturbations. Un circuit numérique ne cherche donc pas nécessairement à mesurer précisément chaque valeur de tension : il détermine principalement dans quel état logique se trouve le signal.

Le système binaire est ainsi particulièrement adapté aux circuits numériques. Les transistors peuvent être utilisés pour établir, interrompre ou contrôler ces états électriques, ce qui permet de réaliser des opérations logiques et de stocker des informations.

Les chiffres binaires

Un chiffre du système binaire est appelé un bit, contraction de binary digit. Un bit ne peut prendre que deux valeurs : 0 ou 1.

Avec un seul bit, on peut donc représenter deux possibilités :

• 0 : première possibilité ;
• 1 : deuxième possibilité.

Avec deux bits, quatre combinaisons différentes sont possibles :

• 00
• 01
• 10
• 11

Avec trois bits, on obtient huit combinaisons. Avec quatre bits, seize combinaisons. Plus le nombre de bits augmente, plus le nombre de valeurs différentes pouvant être représentées augmente.

Le nombre de combinaisons

Chaque bit possède deux états possibles. Avec plusieurs bits, chaque position peut donc prendre indépendamment la valeur 0 ou 1.

Nombre de valeurs = 2ⁿ

où n représente le nombre de bits.

Ainsi :

• 1 bit → 2 valeurs ;
• 2 bits → 4 valeurs ;
• 3 bits → 8 valeurs ;
• 4 bits → 16 valeurs ;
• 8 bits → 256 valeurs ;
• 16 bits → 65 536 valeurs.

Avec n bits, on peut représenter les nombres entiers non signés allant de 0 à 2ⁿ − 1.

La position des chiffres

Comme dans le système décimal, la position d'un chiffre binaire détermine sa valeur. Mais au lieu d'utiliser des puissances de 10, le système binaire utilise des puissances de 2.

Dans un nombre binaire, le chiffre situé complètement à droite correspond à 2⁰, celui situé juste à sa gauche à 2¹, puis 2², 2³, etc.

Pour un nombre de huit bits :

Position	7	6	5	4	3	2	1	0
Valeur	128	64	32	16	8	4	2	1

Le bit situé le plus à droite est appelé le bit de poids faible, ou LSB (Least Significant Bit). Le bit situé le plus à gauche est le bit de poids fort, ou MSB (Most Significant Bit).

Lire un nombre binaire

Pour convertir un nombre binaire en nombre décimal, il suffit d'additionner les puissances de 2 correspondant aux positions où se trouvent des 1.

Prenons le nombre binaire 1011.

Ses positions correspondent à :

Binaire	1	0	1	1
Puissance	23	22	21	20
Valeur	8	0	2	1

On obtient :

1011₂ = 8 + 2 + 1 = 11₁₀

Le nombre 1011 en binaire représente donc le nombre 11 en décimal.

Compter en binaire

Le principe du comptage est le même qu'en décimal : lorsque toutes les possibilités d'une position sont utilisées, on revient à zéro et on augmente la position suivante.

En partant de zéro :

Décimal	Binaire
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111

Avec quatre bits, le plus grand nombre représentable est donc 1111, qui correspond à 15.

Passer du décimal au binaire

Pour convertir un nombre décimal en binaire, on peut rechercher les puissances de 2 qui permettent de construire ce nombre.

Prenons 13. Les puissances de 2 nécessaires sont :

13 = 8 + 4 + 1

On utilise donc 2³, 2² et 2⁰, mais pas 2¹.

On obtient :

13₁₀ = 1101₂

Une autre méthode consiste à effectuer des divisions successives par 2 et à conserver les restes. En lisant les restes de la dernière division vers la première, on obtient l'écriture binaire.

Les nombres binaires et les nombres décimaux

Le système binaire et le système décimal représentent exactement les mêmes nombres. Seule leur écriture change.

Par exemple :

• 5₁₀ = 101₂
• 10₁₀ = 1010₂
• 20₁₀ = 10100₂
• 32₁₀ = 100000₂
• 100₁₀ = 1100100₂

Les petits indices 2 et 10 permettent de préciser la base utilisée et d'éviter toute ambiguïté.

L'addition binaire

L'addition binaire repose sur quelques règles simples :

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10

La dernière règle est importante. En binaire, 10 représente le nombre décimal 2. Lorsqu'on additionne deux 1, on écrit donc 0 et on reporte 1 dans la colonne suivante.

Par exemple :

  0101
\+ 0011
──────
  1000

Cela correspond à :

5 + 3 = 8

La soustraction binaire

La soustraction utilise également le principe du système décimal, mais avec seulement les chiffres 0 et 1.

• 0 − 0 = 0
• 1 − 0 = 1
• 1 − 1 = 0

Lorsque l'on doit effectuer 0 − 1, il faut emprunter une unité à la position suivante. En binaire, cette unité vaut 10₂, soit 2 en décimal.

Par exemple :

  1010
− 0011
──────
  0111

Ce qui correspond à :

10 − 3 = 7

La multiplication binaire

La multiplication binaire est particulièrement simple puisque chaque chiffre est soit 0, soit 1.

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

La multiplication par 2 correspond également à un décalage d'un bit vers la gauche. Par exemple :

0011 × 2 = 0110

Le nombre 0011 vaut 3 et 0110 vaut 6.

Les nombres entiers non signés

Lorsque tous les bits servent à représenter la valeur du nombre, on parle d'un nombre non signé. Tous les nombres représentés sont alors positifs ou nuls.

Avec 8 bits, on peut représenter :

0 à 2⁸ − 1 = 255

Le nombre 00000000 représente 0 et 11111111 représente 255.

Les nombres signés

Pour représenter également des nombres négatifs, il faut réserver une partie de l'information à la représentation du signe. Une méthode très utilisée dans les ordinateurs est le complément à deux.

Avec 8 bits en complément à deux, les valeurs représentables vont de −128 à +127.

Cette représentation permet aux circuits électroniques d'effectuer les additions et les soustractions de nombres positifs et négatifs avec les mêmes circuits arithmétiques.

Les groupes de bits

Les bits sont généralement regroupés afin de manipuler plus facilement les informations.

Un groupe de 4 bits est appelé un nibble. Un groupe de 8 bits constitue un octet, ou byte en anglais.

Un octet peut représenter 256 valeurs différentes, de 0 à 255 lorsqu'il est utilisé comme nombre non signé.

Les tailles plus importantes sont ensuite constituées de plusieurs octets : 16 bits, 32 bits, 64 bits, etc.

Le système hexadécimal

Écrire de longues suites de 0 et de 1 devient rapidement difficile à lire. En électronique et en informatique, on utilise donc souvent le système hexadécimal, qui possède une base 16.

Il utilise les chiffres de 0 à 9 puis les lettres A à F.

Décimal	Hexadécimal	Binaire
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
10	A	1010
11	B	1011
12	C	1100
13	D	1101
14	E	1110
15	F	1111

Chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits. La conversion est donc particulièrement simple.

Par exemple :

1011 0110₂ = B6₁₆

Le binaire dans l'électronique numérique

Le système binaire est particulièrement adapté aux circuits numériques parce que les composants électroniques peuvent être utilisés pour distinguer deux états logiques.

Un circuit peut par exemple interpréter une tension située dans une certaine plage comme un 0 logique et une tension située dans une autre plage comme un 1 logique.

Il ne faut cependant pas confondre directement 0 et 1 avec deux valeurs de tension universelles. Les niveaux électriques dépendent de la technologie utilisée. Un 0 logique et un 1 logique correspondent à des plages de tensions définies par le circuit.

Les bits comme informations

Un bit ne représente pas nécessairement un nombre. Il peut représenter n'importe quelle information pouvant être codée avec deux états.

Un bit peut par exemple indiquer :

• éteint ou allumé ;
• faux ou vrai ;
• non ou oui ;
• désactivé ou activé.

Plusieurs bits permettent alors de représenter un nombre beaucoup plus important d'états. Huit bits peuvent représenter 256 combinaisons différentes, seize bits peuvent en représenter 65 536.

Représenter des nombres avec des circuits

Un ensemble de bits peut représenter directement un nombre. Par exemple, un registre de huit bits peut contenir :

00101101

Ce nombre vaut :

32 + 8 + 4 + 1 = 45

Le circuit peut donc stocker, transmettre ou traiter la valeur 45 sous la forme d'une succession de huit états logiques.

Représenter des textes, des images et des sons

Le principe binaire ne sert pas uniquement à représenter des nombres. Des systèmes de codage permettent d'associer des suites de bits à des caractères, des couleurs, des pixels ou des échantillons sonores.

Un texte peut ainsi être transformé en une suite de nombres correspondant aux caractères. Une image numérique est constituée de pixels auxquels sont attribuées des valeurs numériques représentant notamment leurs couleurs. Un son numérisé est représenté par une succession de valeurs mesurées à intervalles réguliers.

Dans tous ces cas, l'information finale est stockée et manipulée sous forme de bits.

Le binaire et les circuits logiques

Les bits peuvent être traités par des portes logiques. Une porte logique reçoit une ou plusieurs valeurs binaires et produit une valeur binaire en fonction d'une règle précise.

Les principales portes logiques sont NON (NOT), ET (AND), OU (OR), ainsi que NAND, NOR, XOR et XNOR.

En combinant ces portes, on peut réaliser des circuits capables d'effectuer des calculs, de comparer des valeurs, de mémoriser des informations ou de prendre des décisions logiques.

Le système binaire constitue ainsi le langage numérique utilisé par les circuits électroniques pour représenter et traiter les informations. Les portes logiques, les additionneurs, les registres, les mémoires, les processeurs et de nombreux autres circuits numériques manipulent tous des suites de bits.