L'électronique numérique : L'algèbre de Boole - Quiz
L'algèbre de Boole
L'algèbre de Boole est une branche des mathématiques qui a été développée au XIXe siècle par le mathématicien anglais George Boole. Elle permet de décrire mathématiquement des raisonnements qui ne possèdent que deux états, comme vrai ou faux, oui ou non, activé ou désactivé.
Les deux valeurs logiques
En algèbre de Boole, une variable logique ne peut prendre que deux valeurs :
- 0 représente généralement faux, inactif ou absent ;
- 1 représente généralement vrai, actif ou présent.
Ces correspondances sont des conventions. Dans un circuit électronique, le 0 et le 1 correspondent à des niveaux logiques définis par la technologie utilisée.
Une variable logique peut être représentée par une lettre, par exemple A. Elle peut donc avoir seulement deux états :
A = 0 ou A = 1
Les opérations logiques
L'algèbre de Boole permet de combiner plusieurs variables à l'aide d'opérations logiques.
Les trois opérations fondamentales sont :
- NON : inverse une valeur logique ;
- ET : donne 1 lorsque toutes les conditions sont vraies ;
- OU : donne 1 lorsqu'au moins une condition est vraie.
Ces opérations mathématiques correspondent directement à des fonctions que les circuits électroniques peuvent réaliser.
L'opération NON
L'opération NON, appelée NOT en anglais, inverse la valeur de son entrée.
Si l'entrée vaut 0, la sortie vaut 1. Si l'entrée vaut 1, la sortie vaut 0.
| A | NON A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
On peut écrire cette opération avec une barre au-dessus de la variable :
S = A
On rencontre également les notations ¬A ou NOT A.
Une opération NON ne possède donc qu'une seule entrée et une seule sortie. En électronique, elle est réalisée par une porte NOT, également appelée inverseur.
L'opération ET
L'opération ET, appelée AND en anglais, donne 1 uniquement lorsque toutes ses entrées valent 1.
Avec deux variables A et B :
| A | B | A ET B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
L'opération ET s'écrit généralement :
S = A · B
Le symbole · représente ici une opération logique et non une multiplication ordinaire, même si les règles de calcul des valeurs 0 et 1 donnent le même résultat.
Une porte AND peut par exemple commander une lampe uniquement lorsque deux conditions sont simultanément satisfaites : un interrupteur A doit être activé et un interrupteur B doit également être activé.
L'opération OU
L'opération OU, appelée OR en anglais, donne 1 lorsqu'au moins une de ses entrées vaut 1.
| A | B | A OU B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
L'opération OU s'écrit :
S = A + B
Le symbole + représente ici une addition logique et non une addition arithmétique classique. Le résultat ne peut jamais être supérieur à 1.
Une porte OR peut par exemple commander une alarme si une condition A ou une condition B est détectée.
La table de vérité
Une table de vérité permet de présenter toutes les combinaisons possibles des entrées d'une opération logique et d'indiquer la valeur correspondante de la sortie.
Pour deux entrées, il existe quatre combinaisons possibles : 00, 01, 10 et 11. Pour trois entrées, il en existe huit. Plus le nombre d'entrées augmente, plus le nombre de combinaisons augmente selon la relation :
2n
où n est le nombre d'entrées.
L'opération OU exclusif
L'opération OU exclusif, appelée XOR, signifie « l'un ou l'autre, mais pas les deux ».
Avec deux entrées, la sortie vaut donc 1 lorsque les deux entrées sont différentes.
| A | B | A XOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
L'opération XOR s'écrit généralement :
S = A ⊕ B
Elle est particulièrement importante dans les circuits arithmétiques, notamment pour réaliser des additionneurs binaires.
L'opération NON-ET
L'opération NON-ET, appelée NAND, correspond à l'inverse de l'opération ET.
La sortie vaut donc 0 uniquement lorsque toutes les entrées valent 1.
| A | B | A NAND B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
On peut l'écrire :
S = A · B
La porte NAND est particulièrement importante car elle est universelle : en combinant uniquement des portes NAND, il est possible de réaliser les autres fonctions logiques.
L'opération NON-OU
L'opération NON-OU, appelée NOR, correspond à l'inversion de l'opération OU.
La sortie vaut 1 uniquement lorsque toutes les entrées valent 0.
| A | B | A NOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
On peut l'écrire :
S = A + B
Comme la porte NAND, la porte NOR est une porte universelle. Des circuits logiques complets peuvent donc être construits uniquement à partir de portes NOR.
L'opération NON-OU exclusif
L'opération NON-OU exclusif, appelée XNOR, est l'inverse de XOR.
La sortie vaut 1 lorsque les deux entrées sont identiques.
| A | B | A XNOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Cette fonction est notamment utile pour comparer deux valeurs binaires.
Les lois de l'algèbre de Boole
Les opérations logiques obéissent à plusieurs règles qui permettent de transformer et de simplifier les expressions booléennes.
Pour l'opération ET :
- A · 0 = 0
- A · 1 = A
- A · A = A
- A · A = 0
Pour l'opération OU :
- A + 0 = A
- A + 1 = 1
- A + A = A
- A + A = 1
Ces règles permettent notamment de supprimer des parties inutiles d'une expression logique.
La commutativité
Les opérations ET et OU sont commutatives. L'ordre des variables ne change pas le résultat.
A · B = B · A
A + B = B + A
Ainsi, échanger les deux entrées d'une porte AND ou OR ne modifie pas sa sortie.
L'associativité
Les opérations ET et OU sont également associatives. Lorsque plusieurs opérations identiques sont effectuées, le regroupement des variables ne change pas le résultat.
(A · B) · C = A · (B · C)
(A + B) + C = A + (B + C)
La distributivité
L'algèbre de Boole possède également des lois de distributivité.
A · (B + C) = A · B + A · C
Il existe également une forme particulière de distributivité pour l'opération OU :
A + (B · C) = (A + B) · (A + C)
Ces règles permettent de transformer une expression logique tout en conservant exactement le même résultat.
Les lois de De Morgan
Les lois de De Morgan permettent de transformer une inversion portant sur plusieurs variables.
A · B = A + B
A + B = A · B
La première loi indique que le NON-ET d'un ensemble de valeurs équivaut au OU des valeurs inversées. La seconde indique que le NON-OU équivaut au ET des valeurs inversées.
Ces lois sont très utilisées pour transformer une expression et construire un circuit équivalent avec un autre type de portes logiques.
Les expressions booléennes
Une expression booléenne combine des variables et des opérations logiques pour déterminer une sortie.
Par exemple :
S = A · B + C
La sortie S vaut 1 lorsque A et B valent tous les deux 1, ou lorsque C vaut 1.
Une expression plus complexe peut être construite en associant plusieurs opérations :
S = (A + B) · C
Dans ce cas, on effectue d'abord l'opération OU entre A et B, puis on inverse C, avant d'effectuer l'opération ET entre les deux résultats.
Simplifier une expression booléenne
Une expression peut contenir des opérations qui ne sont pas nécessaires. Les lois de l'algèbre de Boole permettent de les supprimer et d'obtenir une expression plus simple.
Par exemple :
A + A · B = A
Cette relation signifie que la présence de A suffit à produire 1. Le terme A · B n'apporte donc aucune nouvelle possibilité.
La simplification d'une expression peut réduire le nombre de portes logiques nécessaires pour réaliser le circuit correspondant. Un circuit plus simple nécessite généralement moins de composants et peut être plus rapide et plus économique.
De l'expression logique au circuit
Une expression booléenne peut être transformée directement en circuit logique. Chaque opération correspond à une porte logique.
Pour l'expression :
S = A · B + C
on utilise d'abord une porte AND pour calculer A · B, puis une porte OR pour ajouter C au résultat.
À l'inverse, un circuit logique peut être traduit en expression booléenne. L'algèbre de Boole permet ainsi de passer du raisonnement mathématique au circuit électronique, et inversement.
De la table de vérité au circuit
Une table de vérité permet également de partir du comportement souhaité d'un circuit pour construire son expression logique.
Pour chaque ligne où la sortie vaut 1, on peut écrire une combinaison des entrées correspondant exactement à cette situation. Les différentes combinaisons sont ensuite reliées par des opérations OU.
Cette méthode permet de concevoir systématiquement des circuits logiques à partir de leur comportement attendu.
L'algèbre de Boole dans les circuits numériques
L'algèbre de Boole constitue le langage mathématique des circuits logiques. Elle permet de décrire les opérations effectuées sur les bits et de déterminer la sortie d'un circuit à partir de ses entrées.
En combinant des portes logiques, on peut construire des circuits de plus en plus complexes : additionneurs, comparateurs, multiplexeurs, décodeurs, registres et unités de calcul.
Ces circuits constituent eux-mêmes les éléments de base des systèmes numériques plus complexes, jusqu'aux processeurs et aux systèmes électroniques programmables.