Le système binaire est un système de numération qui utilise seulement deux chiffres : 0 et 1. Les ordinateurs utilisent cette représentation pour manipuler leurs données.

Dans notre vie courante, nous utilisons le système décimal, qui possède dix chiffres, de 0 à 9. Le système binaire possède seulement deux chiffres, car les circuits numériques travaillent avec deux états distincts qui peuvent être représentés par 0 et 1.

Les positions binaires

Dans le système décimal, chaque position correspond à une puissance de 10 : unités, dizaines, centaines, milliers, etc. Dans le système binaire, chaque position correspond à une puissance de 2.

Position	27	26	25	24	23	22	21	20
Valeur	128	64	32	16	8	4	2	1

Le bit situé le plus à droite correspond donc à 1, celui qui le précède à 2, puis viennent 4, 8, 16, et ainsi de suite.

Lire un nombre binaire

Pour convertir un nombre binaire en nombre décimal, on additionne les valeurs des positions dont le bit vaut 1.

Prenons le nombre binaire 101101 :

Bit	1	0	1	1	0	1
Valeur	32	16	8	4	2	1

Les bits à 1 correspondent aux valeurs 32, 8, 4 et 1.

32 + 8 + 4 + 1 = 45

Le nombre binaire 101101 représente donc le nombre décimal 45.

Écrire un nombre en binaire

La conversion fonctionne également dans l'autre sens. Pour écrire un nombre décimal en binaire, on recherche les puissances de 2 qui permettent de le construire.

Prenons par exemple le nombre 13. On peut l'écrire :

13 = 8 + 4 + 1

Les positions correspondant à 8, 4 et 1 prennent donc la valeur 1. La position correspondant à 2 prend la valeur 0.

13₁₀ = 1101₂

Les nombres binaires et les bits

Chaque chiffre d'un nombre binaire est un bit. Un nombre binaire composé de huit chiffres possède donc huit bits et forme un octet.

Avec 8 bits, un nombre binaire non signé peut représenter 256 valeurs, de 0 à 255.

Binaire	Décimal
00000000	0
00000001	1
00001010	10
01111111	127
11111111	255

Les nombres binaires signés

Un ordinateur doit également représenter les nombres négatifs. Pour cela, les bits sont interprétés selon une convention appelée complément à deux. Cette méthode permet de représenter les nombres positifs et négatifs avec les mêmes circuits de calcul.

Sur 8 bits signés, la représentation va de -128 à +127. Le bit situé le plus à gauche participe à la représentation du signe : les valeurs commençant par 0 représentent les nombres positifs ou zéro, tandis que celles commençant par 1 représentent les nombres négatifs.

Binaire sur 8 bits	Valeur décimale
00000000	0
00000001	+1
01111111	+127
11111111	-1
11111110	-2
10000000	-128

Par exemple, -1 est représenté sur 8 bits par 11111111. Cette représentation permet au processeur d'effectuer directement les additions et les soustractions avec des nombres positifs et négatifs.

Le code BCD

Le code BCD (Binary Coded Decimal) est une autre manière de représenter les nombres. Chaque chiffre décimal est codé séparément sur 4 bits.

Par exemple, le nombre décimal 45 contient les chiffres 4 et 5. Le chiffre 4 est représenté par 0100 et le chiffre 5 par 0101.

45₁₀ → 0100 0101_BCD

Le BCD conserve donc directement la séparation entre les chiffres décimaux. Il est notamment utilisé dans certains systèmes qui doivent afficher ou manipuler précisément des nombres décimaux, comme des afficheurs numériques, des horloges ou des instruments de mesure.

Le BCD est différent d'une représentation binaire classique. Le nombre 45 s'écrit 101101 en binaire, tandis que sa représentation BCD est 0100 0101.

Les nombres à virgule

Les ordinateurs doivent également représenter des nombres comportant une partie décimale, comme 3,14, 0,5 ou -12,75. Une méthode très utilisée est la représentation en virgule flottante.

Le standard IEEE 754 définit une manière commune de représenter ces nombres dans les ordinateurs. Une valeur est principalement composée de trois parties : un signe, un exposant et une fraction, également appelée mantisse.

Partie	Rôle
Signe	Indique si le nombre est positif ou négatif.
Exposant	Détermine l'ordre de grandeur du nombre.
Fraction	Détermine les chiffres significatifs du nombre.

Le format IEEE 754 le plus courant utilise 32 bits pour un nombre appelé simple précision : 1 bit pour le signe, 8 bits pour l'exposant et 23 bits pour la fraction. Le format 64 bits, appelé double précision, utilise 1 bit pour le signe, 11 bits pour l'exposant et 52 bits pour la fraction.

Cette représentation permet de stocker des nombres extrêmement grands ou extrêmement petits. Elle est utilisée notamment dans les calculs scientifiques, les simulations, les jeux vidéo, les logiciels de traitement d'images et de nombreux programmes informatiques.

Le binaire pour représenter les données

Le système binaire sert à représenter bien plus que des nombres. Les ordinateurs utilisent des suites de bits pour coder les caractères, les couleurs, les sons, les images, les vidéos et les instructions des programmes.

Par exemple, dans le codage ASCII, la lettre A correspond au nombre décimal 65, qui s'écrit 01000001 en binaire sur 8 bits.

De la même manière, une image peut être décrite par des valeurs binaires représentant les couleurs de ses pixels, tandis qu'un fichier audio contient des valeurs binaires représentant les échantillons du son.

Une même suite de bits, plusieurs interprétations

Une suite de bits ne possède pas une signification unique par elle-même. Son interprétation dépend du type de donnée utilisé par le programme.

Par exemple, la suite 01001000 peut représenter le nombre décimal 72. Dans le code ASCII, cette même valeur correspond au caractère H. Dans une image, elle peut représenter une composante de couleur ; dans un fichier audio, elle peut représenter une valeur d'échantillon.

Le programme connaît la signification des bits grâce au format des données qu'il utilise. C'est ainsi qu'une même mémoire peut contenir des nombres entiers, des nombres à virgule, des caractères, des couleurs ou des instructions.

Le binaire dans l'ordinateur

Les processeurs et les mémoires manipulent en permanence des suites de 0 et de 1. Les transistors des circuits numériques permettent de réaliser les opérations nécessaires sur ces bits.

Les données sont ainsi représentées, stockées, traitées et transmises sous forme binaire. Le système binaire constitue donc la base de la représentation numérique utilisée par l'ensemble des ordinateurs.